Question

2．某展覽館用同種規(guī)格的木條制作如圖所示的展示框，其內(nèi)框與外框均為矩形，并用木條相互連結(jié)，連結(jié)木條與所連框邊均垂直．水平方向的連結(jié)木條長(zhǎng)均為8cm，豎直方向的連結(jié)木條長(zhǎng)均為4cm，內(nèi)框矩形的面積為3200cm²．（不計(jì)木料的粗細(xì)與接頭處損耗）
（1）如何設(shè)計(jì)外框的長(zhǎng)與寬，才能使外框矩形面積最小？
（2）如何設(shè)計(jì)外框的長(zhǎng)與寬，才能使制作整個(gè)展示框所用木條最少？

Answer 1

分析 （1）設(shè)展示框外框的長(zhǎng)為xcm，寬為ycm，則內(nèi)框長(zhǎng)為（x-16）cm，寬為（y-8）cm，利用x，y表示面積，列出面積表達(dá)式，變形，利用基本不等式求其最小值；
（2）利用（1）得到木條的長(zhǎng)度表達(dá)式，變形，結(jié)合基本不等式求最小值．

解答 解：（1）設(shè)展示框外框的長(zhǎng)為xcm，寬為ycm，則內(nèi)框長(zhǎng)為（x-16）cm，寬為（y-8）cm，由題意x＞16，y＞8，因?yàn)閮?nèi)框的面積為3200cm²，所以（x-16）（y-8）=3200，所以$y=\frac{3200}{x-16}+8$，外框面積為S=xy=8x+$\frac{3200x}{x-16}$=3328+8（x-16）+$\frac{3200×16}{x-16}$，因?yàn)閤＞16，所以x-16＞0，所以S≥3328+2$\sqrt{8（x-16）×\frac{3200×16}{x-16}}$=3328+1280=4608，當(dāng)且僅當(dāng)8（x-16）=$\frac{16×3200}{x-16}$即x=96時(shí)等號(hào)成立，
所以外框的長(zhǎng)與寬分別是96cm，48cm時(shí)，才能使外框矩形面積最小；
（2）由（1）可知，所用木條的總長(zhǎng)度為4（x+y）=4（x+8+$\frac{3200}{x-16}$）=4（x-16+$\frac{3200}{x-16}$+24）≥4（2$\sqrt{3200}$+24）=96+320$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)x-16=$\frac{3200}{x-16}$即x=16+40$\sqrt{2}$，y=8+40$\sqrt{2}$時(shí)等號(hào)成立；
所以外框的長(zhǎng)與寬分別是（16+40$\sqrt{2}$）cm，（8+40$\sqrt{2}$）cm時(shí)，才能使制作整個(gè)展示框所用木條最少

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式在實(shí)踐中的應(yīng)用；關(guān)鍵是由題意列出面積和長(zhǎng)度的不等式，湊出基本不等式的形式，利用基本不等式求最小值．