Question

若函數(shù)f（x）=

1 x+a ，x＜0 ex-bx，x≥0

有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：首先可判斷當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）一定沒(méi)有零點(diǎn)，從而可判斷出b＞1，從而求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，再求最值并令之為零即可．

解答： 解：∵當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）一定沒(méi)有零點(diǎn)，
∴當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=e^x-bx有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
又∵y=e^x-x＞0在[0，+∞）上恒成立，
∴b＞1；
令f′（x）=e^x-b=0得，
x=lnb；
故f（x）=e^x-bx在[0，lnb]上是減函數(shù)，在[lnb，+∞）上是增函數(shù)，
故若使f（x）=e^x-bx有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
則f（lnb）=b-blnb=0；
故lnb=1；
即b=e；
故答案為：e．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的零點(diǎn)的判斷與求法，屬于基礎(chǔ)題．