Question

已知圓C過點P(1,1)，且與圓M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)關(guān)于直線x＋y＋2＝0對稱．

(1)求圓C的方程；

(2)設(shè)Q為圓C上的一個動點，求的最小值；

(3)過點P作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標原點，試判斷直線OP和AB是否平行？請說明理由．

 

Answer 1

（1）x2＋y2＝2

（2）－4.

（3）平行，見解析

【解析】(1)設(shè)圓心C(a，b)，則，

解得.

則圓C的方程為x2＋y2＝r2，將點P的坐標代入得r2＝2，

故圓C的方程為x2＋y2＝2.

(2)設(shè)Q(x，y)，則x2＋y2＝2，且＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2，

∵(x＋y)min＝－2，

所以的最小值為－4.

(3)由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，故可設(shè)PA：y－1＝k(x－1)，PB：y－1＝－k(x－1)，

由，

得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0.

因為點P的橫坐標x＝1一定是該方程的解，所以可得xA＝.

同理，xB＝.

則kAB＝

＝

＝＝1＝kOP.

所以，直線AB和OP一定平行．