Question

13．已知a，b，c分別是△ABC中角A，B，C的對邊，G是△ABC的三條邊上中線的交點，若$\overrightarrow{GA}+（a+b）\overrightarrow{GB}+2c\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow 0$，且$\frac{1}{a}+\frac{2}$≥cos2x-msinx（x∈R）恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為[-4-2$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由題意知G是△ABC的重心，$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，代入$\overrightarrow{GA}$+（a+b）$\overrightarrow{GB}$+2c$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$求出a、b、c的關系；
由$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$≥cos2x-msinx恒成立，得出${（\frac{1}{a}+\frac{2}）}_{min}$≥（cos2x-msinx）_max，
利用基本不等式求出$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$的最小值，構造函數(shù)g（x）=cos2x-msinx（x∈R），
用換元法和分類討論思想求出g（x）的最小值，再列出不等式求出m的取值范圍．

解答 解：由題意知，G是△ABC的重心，
則$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，即$\overrightarrow{GC}$=-（$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$），
代入$\overrightarrow{GA}$+（a+b）$\overrightarrow{GB}$+2c$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，得：
（1-2c）$\overrightarrow{GA}$+（a+b-2c）$\overrightarrow{GB}$=$\overrightarrow{0}$，
則$\left\{\begin{array}{l}{a+b=2c}\\{c=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1}\\{c=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
又$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$≥cos2x-msinx恒成立，
即${（\frac{1}{a}+\frac{2}）}_{min}$≥（cos2x-msinx）_max，
且$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$）•1=（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$）•（a+b）
=3+（$\frac{a}$+$\frac{2a}$）≥3+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{2a}}$=3+2$\sqrt{2}$，
當且僅當時“=”成立；
令g（x）=cos2x-msinx（x∈R），則
g（x）=-2sin²x-msinx+1，設t=sinx，t∈[-1，1]；
則g（t）=-2t²-mt+1，對稱軸是t=-$\frac{m}{4}$；
①若-$\frac{m}{4}$＜-1，即m＞4，
則g（t）_max=g（-1）=-1+m，令3+2$\sqrt{2}$≥-1+m，
解得m≤4+2$\sqrt{2}$，即4＜m≤4+2$\sqrt{2}$；
②若-$\frac{m}{4}$＞1，即m＜-4，
則g（t）_max=g（1）=-1-m，令3+2$\sqrt{2}$≥-1-m，
解得-4-2$\sqrt{2}$≤m＜-4；
③若-1≤-$\frac{m}{4}$≤1，即-4≤m≤4，
則g（t）_max=g（-$\frac{m}{4}$）=1+$\frac{{m}^{2}}{8}$，
由3+2$\sqrt{2}$≥1+$\frac{{m}^{2}}{8}$解得-4$\sqrt{1+\sqrt{2}}$≤m≤4$\sqrt{1+\sqrt{2}}$，
故-4≤m≤4；
綜上，實數(shù)m的取值范圍是[-4-2$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$]．
故答案為：[-4-2$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查了三角函數(shù)、平面向量以及函數(shù)的綜合應用問題，也考查了綜合處理數(shù)學問題的能力．