Question

10．已知a，b，c分別是△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，且滿足（2b-a）•cosC=c•cosA．
（Ⅰ）求角C的大��；
（Ⅱ）設(shè)y=-4$\sqrt{3}$sin²$\frac{A}{2}$+2sin（C-B），求y的最大值并判斷當(dāng)y取得最大值時△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （I）由（2b-a）•cosC=c•cosA，由正弦定理可得：（2sinB-sinA）•cosC=sinC•cosA，利用和差關(guān)系化簡可得：cosC=$\frac{1}{2}$，即可得出C．
（II）利用倍角公式、和差公式可得：y=2$sin（A+\frac{π}{3}）$-2$\sqrt{3}$，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性及其最值可得A，再利用三角形內(nèi)角和定理即可得出．

解答 解：（I）∵（2b-a）•cosC=c•cosA，
由正弦定理可得：（2sinB-sinA）•cosC=sinC•cosA，
化為：2sinB•cosC=sin（C+A）=sinB，
∵sinB≠0，∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，π），∴C=$\frac{π}{3}$．
（II）y=-4$\sqrt{3}$sin²$\frac{A}{2}$+2sin（C-B）=$2\sqrt{3}$（1-cosA）+2sin$（A-\frac{π}{3}）$=sinA+$\sqrt{3}$cosA-2$\sqrt{3}$=2$sin（A+\frac{π}{3}）$-2$\sqrt{3}$，
∵A∈$（0，\frac{2π}{3}）$，∴$（A+\frac{π}{3}）$∈$（\frac{π}{3}，π）$，
∴當(dāng)A+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即A=$\frac{π}{6}$時，y確定最大值2-2$\sqrt{3}$，此時B=$\frac{π}{2}$，
因此△ABC為直角三角形．

點評 本題考查了正弦定理、和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性值域、三角形內(nèi)角和定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．