Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（-t，0）（t＞0），B（t，0），點(diǎn)C滿(mǎn)足$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=8，且點(diǎn)C到直線l：3x-4y+24=0的最小距離為$\frac{9}{5}$，則實(shí)數(shù)t的值是1．

Answer 1

分析 由題意求出C點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，以$\sqrt{8+{t}^{2}}$為半徑的圓，再由點(diǎn)C到直線l：3x-4y+24=0的最小距離為$\frac{9}{5}$，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程求解．

解答 解：設(shè)C（x₀，y₀），∵A（-t，0），B（t，0），$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=8，
∴（x₀+t，y₀）•（x₀-t，y₀）=8，即${{x}_{0}}^{2}-{t}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=8$，
∴${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=8+{t}^{2}$，則點(diǎn)C在以原點(diǎn)為圓心，以$\sqrt{8+{t}^{2}}$為半徑的圓上，
又點(diǎn)C到直線l：3x-4y+24=0的最小距離為$\frac{9}{5}$，
即$\frac{|24|}{\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}-\sqrt{8+{t}^{2}}=\frac{9}{5}$，
∴$\sqrt{8+{t}^{2}}=3$，解得：t=±1，
∵t＞0，∴t=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，是中檔題．