Question

17．設冪函數f（x）=（a-1）x^k（a∈R，k∈Q）的圖象過點$（\sqrt{2}，2）$．
（1）求k，a的值；
（2）若函數h（x）=-f（x）+2b$\sqrt{f（x）}$+1-b在[0，2]上的最大值為3，求實數b的值．

Answer 1

分析 （1）根據冪函數的定義和性質進行求解即可求k，a的值；
（2）若函數h（x）=-f（x）+2b$\sqrt{f（x）}$+1-b在[0，2]上的最大值為3，利用一元二次函數的性質即可求實數b的值．

解答 解：（1）設冪函數f（x）=（a-1）x^k（a∈R，k∈Q）的圖象過點$（\sqrt{2}，2）$．
則a-1=1，即a=2，此時f（x）=x^k，
即$（\sqrt{2}）^{k}={2}^{\frac{k}{2}}$=2，即$\frac{k}{2}$=1，解得k=2；
（2）∵a=2，k=2，
∴f（x）=x²，
則h（x）=-f（x）+2b$\sqrt{f（x）}$+1-b=-x²+2bx+1-b
=-（x-b）²+1-b+b²，
若b＜0，則函數h（x）在[0，2]上單調遞減，最大值為h（0）=1-b=3，即b=-2，滿足條件．
若0≤b≤2，此時當x=b時，最大值為h（b）=1-b+b²=3，
即b²-b-2=0，解得b=2或b=-1（舍）．
若b＞2，則函數h（x）在[0，2]上單調遞增，最大值為h（2）=3b-3=3，即b=2，不滿足條件
綜上b=-2或b=2．

點評 本題主要考查冪函數的定義和性質的應用以及一元二次函數的性質，利用換元法結合一元二次函數的性質是解決本題的關鍵．注意要進行分類討論．