Question

2．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=q（q≠0），對任意m、p∈N^*都有a_m+p=a_m•a_p．從數(shù)列{a_n}中取出部分項，并將它們按原來順序組成一個數(shù)列，稱之為數(shù)列{a_n}的一個子數(shù)列．
（Ⅰ）求a₄；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）證明：當q＞0且q≠1時，數(shù)列{a_n}不存在無窮等差子數(shù)列．

Answer 1

分析 （I）對任意m、p∈N^*都有a_m+p=a_m•a_p．分別取m=p=1，則a₂=a₁•a₁=q²；同理：取m=2，p=1，可得a₃；取m=3，p=1，可得a₄．
（II）由a_m+p=a_m•a_p，取m=n，p=1，可得a_n+1=a_n•a₁=q•a_n，q≠0．利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（III）假設當q＞0且q≠1時，數(shù)列{a_n}存在無窮等差子數(shù)列．取a_s，a_k，a_m，1≤s＜k＜m，k，s，m∈N^*．則2a_k=a_s+a_m，化為2q^k-s=1+q^m-s．變形為：2=${q}^{m-k}+\frac{1}{{q}^{k-s}}$，對q分類討論，利用不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 （I）解：對任意m、p∈N^*都有a_m+p=a_m•a_p．
取m=p=1，則a₂=a₁•a₁=q²，
取m=2，p=1，則a₃=a₂•a₁=q³，
取m=3，p=1，可得a₄=a₃•a₁=q⁴．
（II）解：由a_m+p=a_m•a_p，取m=n，p=1，
則a_n+1=a_n•a₁=q•a_n，q≠0．
∴數(shù)列{a_n}是以q為首項，q為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=qⁿ．
（III）證明：假設當q＞0且q≠1時，數(shù)列{a_n}存在無窮等差子數(shù)列．
取a_s，a_k，a_m，1≤s＜k＜m，k，s，m∈N^*．
則2a_k=a_s+a_m，
∴$2{a}_{s}{q}^{k-s}$=a_s+${a}_{s}{q}^{m-s}$，
化為2q^k-s=1+q^m-s．
∴2=${q}^{m-k}+\frac{1}{{q}^{k-s}}$，（*）
當q＞1時，${q}^{m-k}+\frac{1}{{q}^{k-s}}$＞q^k-s+$\frac{1}{{q}^{k-s}}$＞2，因此（*）不成立；
同理0＜q＜1時，不成立．
因此假設不成立，即當q＞0且q≠1時，數(shù)列{a_n}不存在無窮等差子數(shù)列．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、不等式的性質(zhì)，考查了分類討論、推理能力與計算能力，屬于中檔題．