【題目】如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCDPD∥QA,QA=AB=PD.

I)證明:平面PQC⊥平面DCQ

II)求二面角Q-BP-C的余弦值.

【答案】I)證明見解析;(II.

【解析】

首先根據(jù)題意以D為坐標(biāo)原點(diǎn),線段DA的長為單位長,x、y、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz;(Ⅰ)根據(jù)坐標(biāo)系,求出的坐標(biāo),由向量積的運(yùn)算易得;進(jìn)而可得PQDQ,PQDC,由面面垂直的判定方法,可得證明;(Ⅱ)依題意結(jié)合坐標(biāo)系,可得B的坐標(biāo),進(jìn)而求出平面的PBC的法向量與平面PBQ法向量,進(jìn)而求出cos,>,根據(jù)二面角與其法向量夾角的關(guān)系,可得答案.

如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),線段DA的長為單位長,為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

)依題意有,,

,,,所以,

,.,

平面.

平面,所以平面平面.

II)依題意有,==.

設(shè)是平面的法向量,則

因此可取

設(shè)是平面的法向量,則

可取所以,

且由圖形可知二面角為鈍角

故二面角的余弦值為

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(2)求線段的長度的最小值;

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