Question

4．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}θ}}$，則C上的點(diǎn)到直線x-2y-4$\sqrt{2}$=0的距離的最小值為$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，得$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，從而曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，0≤α＜2π，設(shè)C上的點(diǎn)P（2cosα，sinα），求出P到直線x-2y-4$\sqrt{2}$=0的距離d=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$|$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{3π}{4}$）-2$\sqrt{2}$|，由此能求出C上的點(diǎn)到直線x-2y-4$\sqrt{2}$=0的距離的最小值．

解答 解：∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}θ}}$，
∴ρ²+3ρ²sin²θ=4，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+4y²=4，即$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
∴曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，0≤α＜2π，
設(shè)C上的點(diǎn)P（2cosα，sinα），
P到直線x-2y-4$\sqrt{2}$=0的距離d=$\frac{|2cosα-2sinα-4\sqrt{2}|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$|$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{3π}{4}$）-2$\sqrt{2}$|，
∴當(dāng)sin（$α+\frac{3π}{4}$）=1時，C上的點(diǎn)到直線x-2y-4$\sqrt{2}$=0的距離的最小值為d_min=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、普通方程的互化、求曲線上的點(diǎn)到直線距離的最小值等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．