Question

20．△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知a²+c²-ac=b²．
（1）求角B；
（2）當(dāng)b=6，sinC=2sinA時，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理變形已知式子可得cosB，結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍可得；
（2）由題意正弦定理可得c=2a，代入a²+c²-ac=b²可解得$a=2\sqrt{3}$，$c=4\sqrt{3}$，可得△ABC為直角三角形，由三角形的面積公式可得．

解答 解：（1）∵△ABC中a²+c²-ac=b²，∴ac=a²+c²-b²，
∴由余弦定理可得$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{ac}{2ac}=\frac{1}{2}$，
∵B為三角形的內(nèi)角，∴$B=\frac{π}{3}$；
（2）∵sinC=2sinA，∴由正弦定理可得c=2a，
代入a²+c²-ac=b²得36=a²+4a²-2a²，
解得$a=2\sqrt{3}$，$c=4\sqrt{3}$，
滿足a²+b²=c²，∴△ABC為直角三角形，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}•2\sqrt{3}•6=6\sqrt{3}$

點評 本題考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面積公式，屬中檔題．