Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，若，，且.

（Ⅰ）求動點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）設(shè)（Ⅰ）中曲線的左、右頂點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，（不與，重合）.若直線與直線相交于點(diǎn)，試判斷點(diǎn)，，是否共線，并說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

第（Ⅰ）問由且可得點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)，可得動點(diǎn)軌跡為橢圓；

第（Ⅱ）問分類討論直線的方程，斜率不存在時可直接求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)；斜率存在時則先設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程求出交點(diǎn)關(guān)系，再求出點(diǎn)，利用的關(guān)系判斷即可.

解：（Ⅰ）設(shè)，，則

.

∴動點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，

設(shè)其方程為，則，，即，，

∴.∴動點(diǎn)的軌跡的方程為.

（Ⅱ）①當(dāng)直線的斜率不存在時，：，不妨設(shè)，，

∴直線的方程為，

令得.

∴.∴點(diǎn)，，共線.

②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)：，設(shè)，.

由消得，

由題意知恒成立，故，，

∴直線的方程為，

令得.

∴ ，

上式中的分子

.

∴，∴點(diǎn)，，共線.

綜上可知，點(diǎn)，，共線.