Question

7．設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作x軸的垂線與雙曲線交于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在x軸上方），過(guò)點(diǎn)B作斜率為負(fù)數(shù)的漸近線的垂線，過(guò)點(diǎn)C作斜率為正數(shù)的漸近線的垂線，兩垂線交于點(diǎn)D，若D到直線BC的距離小于虛軸長(zhǎng)的2倍，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（　�。�

• A． 1＜e＜$\sqrt{3}$
• B． e＞$\sqrt{3}$
• C． 1＜e＜$\sqrt{5}$
• D． e＞$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求出直線BD的方程，可得D的坐標(biāo)，利用D到直線BC的距離小于虛軸長(zhǎng)的2倍，可得不等式，即可求出雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答 解：由題意，B（c，$\frac{^{2}}{a}$），直線BD的方程為y-$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{a}$（x-c），
令y=0，可得x=c-$\frac{^{3}}{{a}^{2}}$，根據(jù)對(duì)稱性，可得D（c-$\frac{^{3}}{{a}^{2}}$，0），
∵D到直線BC的距離小于虛軸長(zhǎng)的2倍，
∴$\frac{^{3}}{{a}^{2}}$＜4b，∴c²-a²＜4a²，
∵e＞1，∴1＜e＜$\sqrt{5}$，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率e的取值范圍，考查直線方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．