Question

16．若平面區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}x+y-3≥0\\ 2x-y-3≤0\\ x-2y+3≥0\end{array}\right.$夾在兩條斜率為$\frac{2}{3}$的平行直線之間，則這兩平行直線間的距離的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$
• C． $\frac{{5\sqrt{13}}}{13}$
• D． $5\sqrt{13}$

Answer 1

分析 作出平面區(qū)域，找出距離最近的平行線的位置，求出兩平行直線方程，計算距離即可．

解答 解：畫出不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+y-3≥0\\ 2x-y-3≤0\\ x-2y+3≥0\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域如圖所示；

∴當(dāng)直線y=$\frac{2}{3}$x+b分別經(jīng)過A，B時，平行線間的距離相等；
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3=0}\\{2x-y-3=0}\end{array}\right.$，
解得A（2，1），代入y=$\frac{2}{3}$x+b′中，求得b′=-$\frac{1}{3}$；
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3=0}\\{x-2y+3=0}\end{array}\right.$，
解得B（1，2），代入y=$\frac{2}{3}$x+b中，求得b=$\frac{4}{3}$；
則兩條平行線分別為y=$\frac{2}{3}$x-$\frac{1}{3}$，y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{4}{3}$，
即2x-3y-1=0，2x-3y+4=0，
∴平行線間的距離為d=$\frac{|-1-4|}{\sqrt{{2}^{2}{+（-3）}^{2}}}$=$\frac{5\sqrt{13}}{13}$，
即兩平行線間的最小距離為$\frac{5\sqrt{13}}{13}$．
故選：C．

點評 本題考查了二元一次不等式組表示平面區(qū)域的問題，也考查了距離公式的應(yīng)用問題，是中檔題．