Question

8．已知圓C：x²+y²=4，直線l：y+x-t=0，P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若直線l交圓C于A、B兩點(diǎn)，且∠AOB=$\frac{2π}{3}$，求實(shí)數(shù)t的值；
（2）若t=4，過點(diǎn)P做圓的切線，切點(diǎn)為T，求$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PT}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由∠AOB=$\frac{2π}{3}$，得到圓心到直線l的距離為1，由此求出圓心（0，0）到直線l的距離$\frac{|-t|}{\sqrt{2}}$=1，從而能求出t．
（2）$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PT}$=|$\overrightarrow{PO}$|•|$\overrightarrow{PT}$|•cosθ=|$\overrightarrow{PT}$|²=|$\overrightarrow{PO}$|²-4，求出|$\overrightarrow{PQ}$|的最小值d=2$\sqrt{2}$，由此能求出$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PT}$的最小值．

解答 解：（1）∵圓C：x²+y²=4，直線l：y+x-t=0，P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
直線l交圓C于A、B兩點(diǎn)，且∠AOB=$\frac{2π}{3}$，
∴圓心到直線l的距離為1，
即圓心（0，0）到直線l的距離d=$\frac{|-t|}{\sqrt{2}}$=1，
解得t=$±\sqrt{2}$．
（2）∵t=4，過點(diǎn)P做圓的切線，切點(diǎn)為T，
∴$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PT}$=|$\overrightarrow{PO}$|•|$\overrightarrow{PT}$|•cosθ=|$\overrightarrow{PT}$|²=|$\overrightarrow{PO}$|²-4，
∴求$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PT}$的最小值．等價(jià)于求|$\overrightarrow{PQ}$|²-4的最小值，
∵|$\overrightarrow{PQ}$|的最小值d=$\frac{|4|}{\sqrt{1+1}}$=2$\sqrt{2}$，
∴$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PT}$的最小值為（2$\sqrt{2}$）²-4=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查向量的數(shù)量積的最小值的求法，考查圓、點(diǎn)到直線的距離公式、向量的數(shù)量積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．