Question

已知函數(shù)，.

（1）函數(shù)的零點從小到大排列，記為數(shù)列，求的前項和；

（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)點是函數(shù)與圖象的交點，若直線同時與函數(shù)，的圖象相切于點，且

函數(shù)，的圖象位于直線的兩側(cè)，則稱直線為函數(shù)，的分切線.

探究：是否存在實數(shù)，使得函數(shù)與存在分切線？若存在，求出實數(shù)的值，并寫出分切線方程；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）當(dāng)時，函數(shù)與存在分切線，為直線.

【解析】

試題分析：本題考查三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力、等價轉(zhuǎn)化能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、有限與無限等數(shù)學(xué)思想方法．第一問，先解三角方程，零點值構(gòu)成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式，求和公式求；第二問，先將恒成立轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最大值，得到a的取值范圍；第三問，將函數(shù)和存在分切線轉(zhuǎn)化為“”或“”在 上恒成立，結(jié)合（1）（2）判斷是否符合題意，再進行證明.

試題解析：（1）∵， ∴ ∴，． 1分

∴， 2分

∴． 4分

（2）∵在上恒成立，

∴在上恒成立． 5分

設(shè)， ∴， 6分

∴在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，

∴的極大值為，

∴的最大值為， ∴ ． 8分

（3）若函數(shù)與存在分切線，則有“”或“”在 上恒成立，

∵當(dāng)時，，．

∴，使得， ∴在不恒成立．

∴只能是在上恒成立． 9分

∴由（2）可知， ∵函數(shù)與必須存在交點， ∴． 10分

當(dāng)時，函數(shù)與的交點為,∵，

∴存在直線在點處同時與、相切，

∴猜測函數(shù)與的分切線為直線． 11分

證明如下：

①∵，

設(shè)，則．

令，則有．

∴在上單調(diào)遞增，∴在上有且只有一個零點．

又∵，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

∴，∴，

即在上恒成立．

∴函數(shù)的圖象恒在直線的上方． 13分

②∵在上恒成立，

∴函數(shù)的圖象恒在直線的下方．

∴由此可知，函數(shù)與的分切線為直線，

∴當(dāng)時，函數(shù)與存在分切線，為直線． 14分

考點：三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、等差數(shù)列.