15．已知雙曲線的一個焦點坐標為（0，2），且過點（1，$\sqrt{3}$），求雙曲線的標準方程．

分析 利用雙曲線的定義求出a，c，然后求解b，即可求解雙曲線的方程．

解答 解：雙曲線的一個焦點坐標為（0，2），且過點（1，$\sqrt{3}$），
可得c=2，2a=$\sqrt{（{1-0）}^{2}+（\sqrt{3}+2）^{2}}$-$\sqrt{{（1-0）}^{2}+{（\sqrt{3}-2）}^{2}}$=$2\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{2-\sqrt{3}}$=2（$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$-$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$）=2$\sqrt{2}$，
解得a=$\sqrt{2}$．b=$\sqrt{2}$，
雙曲線的標準方程：$\frac{{y}^{2}}{2}-\frac{{x}^{2}}{2}$=1．

點評 本題考查雙曲線的標準方程的求法，基本知識的考查．

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