Question

【題目】已知冪函數(shù)，滿足．

（）求函數(shù)的解析式．

（）若函數(shù)，，是否存在實數(shù)使得的最小值為？

若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

（）若函數(shù)，是否存在實數(shù)，，使函數(shù)在上的值域為？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（）；（）；（）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)冪函數(shù)是冪函數(shù)，可得，求解的值，即可得到函數(shù)的解析式；

（2）由函數(shù)，利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，求解其最小值，即可求解實數(shù)的取值范圍；

（3）由函數(shù)，求解的解析式，判斷其單調(diào)性，根據(jù)在上的值域為，轉(zhuǎn)化為方程有解問題，即可求解的取值范圍．

試題解析：

（）∵為冪函數(shù)，∴，∴或．

當時，在上單調(diào)遞減，

故不符合題意．

當時，在上單調(diào)遞增，

故，符合題意．∴．

（），

令．∵，∴，∴，．

當時，時，有最小值，

∴，．

②當時，時，有最小值．∴，（舍）．

③當時，時，有最小值，

∴，（舍）．∴綜上．

（），

易知在定義域上單調(diào)遞減，

∴，即，

令，，

則，，∴，∴，

∴．

∵，

∴，∴，∴，

∴．

∵，∴，∴，

∴ ．∴．