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【題目】已知拋物線的焦點為,點在拋物線上,,直線過點,且與拋物線交于,兩點.

(1)求拋物線的方程及點的坐標;

(2)的最大值

【答案】(1),;(2)9.

【解析】

(1)根據拋物線上的點到焦點和準線的距離相等,可得p值,即可求拋物線C的方程從而可得解;

(2)設直線l的方程為:x+my﹣1=0,代入y2=4x,得,y2+4my﹣4=0,設Ax1y1),Bx2,y2),則y1+y2=﹣4my1y2=﹣4,x1+x2=2+4m2,x1x2=1,),x2﹣2,),由此能求出的最大值.

(1)∵點F是拋物線y2=2pxp>0)的焦點,P(2,y0)是拋物線上一點,|PF|=3,

∴23,

解得:p=2,

∴拋物線C的方程為y2=4x,

∵點P(2,n)(n>0)在拋物線C上,

n2=4×2=8,

n>0,得n=2,∴P(2,2).

(2)∵F(1,0),∴設直線l的方程為:x+my﹣1=0,

代入y2=4x,整理得,y2+4my﹣4=0

Ax1,y1),Bx2y2),

y1y2y2+4my﹣4=0的兩個不同實根,

y1+y2=﹣4m,y1y2=﹣4,

x1+x2=(1﹣my1)+(1﹣my2)=2﹣my1+y2)=2+4m2,

x1x2=(1﹣my1)(1﹣my2)=1﹣my1+y2)+m2y1y2=1+4m2﹣4m2=1,

),x2﹣2,),

x1﹣2)(x2﹣2)+()(

x1x2﹣2(x1+x2)+4

=1﹣4﹣8m2+4﹣4+8m+8

=﹣8m2+8m+5

=﹣8(m2+9.

∴當m時,取最大值9.

練習冊系列答案
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