Question

已知函數(shù).

(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若不等式有解，求實數(shù)m的取值菹圍；

（3）證明：當a=0時，.

 

Answer 1

(1)參考解析；（2）；（3）參考解析

【解析】

試題分析：(1)由于，.需求的單調(diào)區(qū)間，通過對函數(shù)求導，在討論的范圍即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（2）本小題可等價轉(zhuǎn)化為，求實數(shù)m的取值菹圍，使得有解，等價于小于函數(shù)，的最小值.所以對函數(shù)求導，由導函數(shù)的解析式，通過應(yīng)用基本不等式，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到最小值.即可得到結(jié)論.

（Ⅲ）由于）當時，.本小題解法通過構(gòu)造.即兩個函數(shù)與的差，通過等價證明函數(shù)的最小值與函數(shù)的最大值的差大于2.所以對兩個函數(shù)分別研究即可得到結(jié)論.

試題解析：(1)的定義域是，當時，，所以在單調(diào)遞增；當時，由，解得.則當時.，所以單調(diào)遞增.當時，，所以單調(diào)遞減.綜上所述：當時，在單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

（2）由題意：有解，即有解，因此只需有解即可，設(shè)，，因為，且時，所以，即.故在上遞減，所以故.

（Ⅲ）當時，，與的公共定義域為，，設(shè)，.因為，在單調(diào)遞增..又設(shè)，，.當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減.所以為的極大值點，即.故.

考點：1.函數(shù)的單調(diào)性.2.含不等式的證明.3.構(gòu)建新的函數(shù)問題.4.運算能力.5.數(shù)學知識綜合應(yīng)用.