Question

3．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+1，數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，且b₃=3，b₅=7．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若對任意的$n∈{N^*}，（{S_n}+\frac{1}{2}）•k≥{b_n}$恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）對于數(shù)列數(shù)列{a_n}，由a_n+1=2S_n+1，可得n≥2時(shí)，a_n=2S_n-1+1，a_n+1=3a_n，當(dāng)n=1時(shí)，a₂=2a₁+1=3，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）由（I）可得：S_n=$\frac{1}{2}（{3}^{n}-1）$，由$n∈{N^*}，（{S_n}+\frac{1}{2}）•k≥{b_n}$，化為：$\frac{1}{2}×{3}^{n}$•k≥2n-3，可得：k≥$\frac{4n-6}{{3}^{n}}$，令f（n）=$\frac{4n-6}{{3}^{n}}$，利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（I）對于數(shù)列數(shù)列{a_n}，∵a_n+1=2S_n+1，∴n≥2時(shí)，a_n=2S_n-1+1，∴a_n+1-a_n=2a_n，化為a_n+1=3a_n，當(dāng)n=1時(shí)，a₂=2a₁+1=3，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為3，首項(xiàng)為1，
∴a_n=3^n-1．
設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，∵b₃=3，b₅=7，∴$\left\{\begin{array}{l}{_{1}+2d=3}\\{_{1}+4d=7}\end{array}\right.$，解得b₁=-1，d=2．
∴b_n=-1+2（n-1）=2n-3．
（II）由（I）可得：S_n=$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$=$\frac{1}{2}（{3}^{n}-1）$，
∴$n∈{N^*}，（{S_n}+\frac{1}{2}）•k≥{b_n}$，化為：$\frac{1}{2}×{3}^{n}$•k≥2n-3，
化為：k≥$\frac{4n-6}{{3}^{n}}$，
令f（n）=$\frac{4n-6}{{3}^{n}}$，則f（n+1）=$\frac{4n+2}{{3}^{n+1}}$，
∴f（n）-f（n+1）=$\frac{4n-6}{{3}^{n}}$-$\frac{4n+2}{{3}^{n+1}}$=$\frac{12n-18-（4n-6）}{{3}^{n+1}}$=$\frac{8n-20}{{3}^{n+1}}$，
可知：n≤2時(shí)，f（n）＜f（n+1）；n≥3時(shí)，f（n）＞f（n+1）．
∴n=3時(shí)，f（n）取得最大值為$\frac{12-6}{{3}^{3}}$=$\frac{2}{9}$．
∴$k≥\frac{2}{9}$．
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是$[\frac{2}{9}，+∞）$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．