Question

（2013•上海）如圖，某校有一塊形如直角三角形ABC的空地，其中∠B為直角，AB長(zhǎng)40米，BC長(zhǎng)50米，現(xiàn)欲在此空地上建造一間健身房，其占地形狀為矩形，且B為矩形的一個(gè)頂點(diǎn)，求該健身房的最大占地面積．

Answer 1

分析：設(shè)出矩形的邊FP的邊長(zhǎng)，利用三角形相似求出矩形的寬，表示出矩形面積，利用二次函數(shù)的最值求解即可．

解答：解：如圖，設(shè)矩形為EBFP，F(xiàn)P長(zhǎng)為x米，其中0＜x＜40，
健身房占地面積為y平方米．因?yàn)椤鰿FP∽△CBA，
以

FP

BA

=

CF

CB

，

x

40

=

50-BF

50

，求得BF=50-

5

4

x，
從而y=BF•FP=（50-

5

4

x）x
=-

5

4

x2+50x
=-

5

4

(x-20)2+500
≤500．
當(dāng)且僅當(dāng)x=20時(shí)，等號(hào)成立．
答：該健身房的最大占地面積為500平方米．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，表示出函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．