Question

3．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax，其中a＞0
（1）求證：函數(shù)f（x）在x=1處的切線經(jīng)過原點(diǎn)；
（2）如果f（x）的極小值為1，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到切線的斜率，從而求出切線方程即可；
（2）解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的極小值，結(jié)合題意求出a的值，從而求出f（x）的解析式．

解答 解：（1）由已知f'（x）=e^x-a，則f'（1）=e-a，
即函數(shù)f（x）在x=1處的切線斜率為e-a，
而f（1）=e-a，因而切線方程為 y-（e-a）=（e-a）（x-1），
即y=（e-a）x，因而經(jīng)過原點(diǎn)；
（2）由f'（x）=e^x-a=0，得x=lna，
當(dāng)x∈（-∞，lna）時(shí)f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（lna，+∞）時(shí)f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）的極小值為f（lna）=a-alna，
由已知a-alna=1，顯然有解a=1，
設(shè)g（a）=a-alna-1，則g'（a）=1-lna-1=-lna=0，則a=1，
因而a∈（0，1）時(shí)g'（a）＞0，g（a）單調(diào)遞增，
a∈（1，+∞）時(shí)g'（a）＜0，g（a）單調(diào)遞減，
∴g（a）極大值為g（1）=0，因而方程a-alna=1有且只有一解a=1，
∴f（x）=e^x-x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問題，函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．