解答:解:(1)a=1時(shí),f(x)=x
2+x-3,h(x)=x
2+2x-3-4lnx,h(x)的定義域是(0,+∞),
h′(x)=2x+2-=當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h′(x)<0,h(x)遞減,
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h′(x)>0,h(x)遞增
∴x=1時(shí),h(x)取得極小值h(1)=0,h(x)無極大值.…(4分)
(2)h(x)=ax
2+2x-4lnx-3,x∈(0,+∞),
h′(x)=2ax+2-=依題意,方程2ax
2+2x-4=0在(0,+∞)上有兩個(gè)不相等的正數(shù)解.
∴
,∴
-<a<0∴a的取值范圍是(-
,0)…(9分)
(3)設(shè)存在,a=1時(shí),f(x)=x
2+x-3
由(1)知,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),h(x)=0,此時(shí),f(1)=g(1)=-1
∴y=f(x)與y=g(x)的圖象有唯一的交點(diǎn)A(1,-1)
直線?必過點(diǎn)A,設(shè)?的方程:y+1=k(x-1),即y=kx-k-1
由f(x)≥kx-k-1恒成立得x
2+(1-k)x+k-2≥0恒成立
∴△=(1-k)
2-4(k-2)=(k-3)
2≤0
∴k=3,直線?的方程:y=3x-4…(12分)
以下證明g(x)≤3x-4對(duì)x>0恒成立
令
?(x)=3x-4-g(x)=4x-4-4lnx,?′(x)=4-=當(dāng)x∈(0,1)時(shí),?′(x)<0,?(x)遞減,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),?′(x)>0,?(x)遞增,
∴?(x)的最小值為?(1)=0,∴?(x)≥0恒成立
即g(x)≤3x-4對(duì)x>0恒成立
綜上,f(x)和g(x)存在唯一的“隔離直線”:y=3x-4…(14分)