Question

20．已知：m，n∈N^*，函數(shù)f（x）=（1-x）^m+（1-x）ⁿ．
（1）當m=n+1時，f（x）展開式中x²的系數(shù)是25，求n的值；
（2）當m=n=7時，f（x）=a₇x⁷+a₆x⁶+…+a₁x+a₀．
（i）求a₀+a₂+a₄+a₆
（ii）$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{7}}{{2}^{7}}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）展開式中x²的系數(shù)列出方程${C}_{n+1}^{2}$+${C}_{n}^{2}$=25，求出n的值；
（2）（�。┵x值法：分別令x=1和x=-1，兩式相加求出a₀+a₂+a₄+a₆的值；
（ⅱ）賦值法：令x=$\frac{1}{2}$和x=0，即可求出$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{7}}{{2}^{7}}$的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（1-x）^m+（1-x）ⁿ，
當m=n+1時，f（x）展開式中x²的系數(shù)是
${C}_{n+1}^{2}$+${C}_{n}^{2}$=25，
即$\frac{1}{2}$n（n+1）+$\frac{1}{2}$n（n-1）=25，
解得n=±5，
應取n=5；     …（4分）
（2）（�。┵x值法：令x=1，得f（1）=a₇+a₆+…+a₁+a₀，
令x=-1，得f（-1）=-a₇+a₆-…-a₁+a₀；
則f（1）+f（-1）=2（a₆+a₄+a₂+a₀）=2×2⁷=256，
所以a₀+a₂+a₄+a₆=128；------（8分）
（ⅱ）賦值法：令x=$\frac{1}{2}$，a₀+$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{7}}{{2}^{7}}$=2×${（\frac{1}{2}）}^{7}$=$\frac{1}{64}$；
x=0，a₀=1+1=2，
因此）$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{7}}{{2}^{7}}$=$\frac{1}{64}$-2=-$\frac{127}{64}$．------（12分）

點評 本題考查了二項式定理的應用問題，也考查了利用賦值法求對應項的系數(shù)問題，是綜合性題目．