Question

15．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁，點D，E分別為BC，CC₁的中點．
（1）求證：B₁D⊥平面ABE；
（2）若點P是線段B₁D上一點且滿足$\frac{{{B_1}P}}{PD}$=$\frac{1}{2}$，求證：A₁P∥平面ADE．

Answer 1

分析 （1）先證明BB₁⊥AB，BC⊥AB，從而可證AB⊥面BCC₁B₁，進而證明AB⊥DB₁，又利用三角形全等可證∠CBE=∠BB₁D，進而可證B₁D⊥BE，從而得證B₁D⊥面ABE．
（2）連接PC交DE于點F，連接A₁C交AE 于點G，連接FG，可得$\frac{{{A_1}G}}{GC}=\frac{PF}{FC}=2$，進而可得A₁P∥GF，從而即可判定A₁P∥平面ADE．

解答 解：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中，BB₁⊥面ABC，AB?面ABC，
所以BB₁⊥AB，
因為∠ABC=90°，
所以BC⊥AB，
又BC∩BB₁=B，
所以AB⊥面BCC₁B₁，
因為DB₁?面BCC₁B₁，
所以AB⊥DB₁，
因為在平面BCC₁B₁ 中，BC=BB₁，
所以四邊形BCC₁B₁ 為正方形，
因為點D，E 分別為BC，CC₁ 的中點，
所以△BCE∽△B₁BD，
所以∠CBE=∠BB₁D，
所以$∠CBE+∠{B_1}DB=\frac{π}{2}$，即B₁D⊥BE，
又因為BA∩BE=B，
所以B₁D⊥面ABE．
（2）連接PC交DE于點F，連接A₁C交AE 于點G，連接FG，在正方形BCC₁B₁ 中利用$\frac{{{B_1}P}}{PD}=\frac{1}{2}$及平面幾何知識可得$\frac{PF}{FC}=2$，
在正方形ACC₁A₁ 中利用CE∥AA₁ 且$CE=\frac{1}{2}A{A_1}$，可得$\frac{{{A_1}G}}{GC}=2$，
所以在△CA₁P中，$\frac{{{A_1}G}}{GC}=\frac{PF}{FC}=2$，
所以A₁P∥GF，
又A₁P?平面ADE，GF?平面ADE，
所以A₁P∥平面ADE．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查了轉(zhuǎn)化思想，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．