Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{4}{π}\sqrt{1-{x^2}}，0≤x＜1}\\{5{x^4}+1，1≤x≤2}\end{array}}$，若數(shù)列{a_n}滿足：a₁=$\int_0^2{f（x）dx}$，a_n+1-a_n=2n，則$\frac{a_n}{n}$的最小值為11．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{4}{π}\sqrt{1-{x^2}}，0≤x＜1}\\{5{x^4}+1，1≤x≤2}\end{array}}$，可得a₁=$\int_0^2{f（x）dx}$=${∫}_{0}^{1}\frac{4}{π}\sqrt{1-{x}^{2}}dx$+${∫}_{1}^{2}（5{x}^{4}+1）dx$=36，a_n+1-a_n=2n，利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁可得a_n，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{4}{π}\sqrt{1-{x^2}}，0≤x＜1}\\{5{x^4}+1，1≤x≤2}\end{array}}$，
∴a₁=$\int_0^2{f（x）dx}$=${∫}_{0}^{1}\frac{4}{π}\sqrt{1-{x}^{2}}dx$+${∫}_{1}^{2}（5{x}^{4}+1）dx$=$\frac{4}{π}$×$\frac{π}{4}$+$（{x}^{5}+x）{|}_{1}^{2}$=36，
∵a_n+1-a_n=2n，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2（n-1）+2（n-2）+…+2×1+36
=$\frac{2×（n-1）n}{2}$+36=n²-n+36，
∴$\frac{a_n}{n}$=$\frac{{n}^{2}-n+36}{n}$=n+$\frac{36}{n}$-1≥$2\sqrt{n•\frac{36}{n}}$-1=11，當(dāng)且僅當(dāng)n=6時取等號．
故答案為：11．

點(diǎn)評 本題考查了微積分基本定理、“累加求和”方法、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．