12.已知f(x)=|2x-1|+|5x-1|
(1)求f(x)>x+1的解集;
(2)若m=2-n,對?m,n∈(0,+∞),恒有$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}≥f(x)$成立,求實(shí)數(shù)x的范圍.

分析 (1)通過討論x的范圍,求出各個區(qū)間上的x的范圍,取交集即可;(2)根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出x的范圍即可.

解答 解:(1)$f(x)=\left\{\begin{array}{l}2-7x(x<\frac{1}{5})\\ 3x(\frac{1}{5}≤x≤\frac{1}{2})\\ 7x-2(x>\frac{1}{2})\end{array}\right.$,
故x>$\frac{1}{2}$時,7x-2>x+1,解得:x>$\frac{1}{2}$,
$\frac{1}{5}$≤x≤$\frac{1}{2}$時,3x>x+1,解得:x>$\frac{1}{2}$,
x<$\frac{1}{5}$時,2-7x>x+1,解得:x<$\frac{1}{8}$,
故f(x)>x+1的解集為$(-∞,\frac{1}{8})∪(\frac{1}{2},+∞)$…(5分)
(2)因?yàn)?\frac{1}{m}+\frac{4}{n}=(\frac{1}{m}+\frac{4}{n})(m+n)•\frac{1}{2}≥\frac{9}{2}$,
當(dāng)且僅當(dāng)$m=\frac{2}{3},n=\frac{4}{3}$時等于號成立.
由$\frac{9}{2}≥f(x)$解得x的取值范圍為$(-\frac{5}{14},\frac{13}{14})$…(10分)

點(diǎn)評 本題考查了解絕對值不等式問題,考查不等式的性質(zhì)以及分類討論思想,是一道中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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2.已知函數(shù)f(x)=ax2-(a+4)x+4.
(1)若對任意的x∈(0,1],都有f(x)>(a-1)x2恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)解不等式f(x)>0.

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3.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足acosB=bcosA.
(Ⅰ)判斷△ABC的形狀;
(Ⅱ)求$sinB+cos({A+\frac{π}{6}})$的取值范圍.

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20.曲線$y=lnx-\frac{2}{x}$在x=1處的切線的傾斜角為α,則cosα+sinα的值為( 。
A.$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$B.$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$C.$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$D.$\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$

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7.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,滿足$\overrightarrow a=({S_{n+1}}-2{S_n},{S_n})$,$\overrightarrow b=(2,n)$,$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$.
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(2)求數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和Tn

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17.如果實(shí)數(shù)x,y滿足關(guān)系$\left\{\begin{array}{l}x-y+1≥0\\ x+y-2≤0\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$,又$\frac{2x+y-7}{x-3}≤c$恒成立,則c的取值范圍為(  )
A.[$\frac{9}{5}$,3]B.(-∞,3]C.[3,+∞)D.(2,3]

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4.已知f(x)=asinx,g(x)=lnx,其中a∈R(y=g-1(x)與y=g(x)關(guān)于直線y=x對稱)
(1)若函數(shù)G(x)=f(1-x)+g(x)在區(qū)間(0,1)上遞增,求a的取值范圍;
(2)證明:$\sum_{k=1}^n{sin\frac{1}{{{{(1+k)}^2}}}<ln2}$;
(3)設(shè)F(x)=g-1(x)-mx2-2(x+1)+b(m<0),其中F(x)>0恒成立,求滿足條件的最小整數(shù)b的值.

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1.不等式|x-3|≤1的解集是[2,4].

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2.函數(shù)$f(x)=\sqrt{x}+1$的反函數(shù)是f-1(x)=(x-1)2(x≥1).

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