分析 (1)通過討論x的范圍,求出各個區(qū)間上的x的范圍,取交集即可;(2)根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出x的范圍即可.
解答 解:(1)$f(x)=\left\{\begin{array}{l}2-7x(x<\frac{1}{5})\\ 3x(\frac{1}{5}≤x≤\frac{1}{2})\\ 7x-2(x>\frac{1}{2})\end{array}\right.$,
故x>$\frac{1}{2}$時,7x-2>x+1,解得:x>$\frac{1}{2}$,
$\frac{1}{5}$≤x≤$\frac{1}{2}$時,3x>x+1,解得:x>$\frac{1}{2}$,
x<$\frac{1}{5}$時,2-7x>x+1,解得:x<$\frac{1}{8}$,
故f(x)>x+1的解集為$(-∞,\frac{1}{8})∪(\frac{1}{2},+∞)$…(5分)
(2)因?yàn)?\frac{1}{m}+\frac{4}{n}=(\frac{1}{m}+\frac{4}{n})(m+n)•\frac{1}{2}≥\frac{9}{2}$,
當(dāng)且僅當(dāng)$m=\frac{2}{3},n=\frac{4}{3}$時等于號成立.
由$\frac{9}{2}≥f(x)$解得x的取值范圍為$(-\frac{5}{14},\frac{13}{14})$…(10分)
點(diǎn)評 本題考查了解絕對值不等式問題,考查不等式的性質(zhì)以及分類討論思想,是一道中檔題.
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A. | $\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$ | B. | $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$ | C. | $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$ | D. | $\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$ |
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A. | [$\frac{9}{5}$,3] | B. | (-∞,3] | C. | [3,+∞) | D. | (2,3] |
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