Question

15．證明數(shù)列a_n=${2}^{{2}^{n}}$+1（n=0，1，2，…．）的任意兩項(xiàng)都是互素的．

Answer 1

分析 由題意，只要證明數(shù)列a_n=${2}^{{2}^{n}}$+1（n=0，1，2，…．）的任意相鄰兩項(xiàng)都是互素的．利用反證法證明即可．

解答 證明：由題意，只要證明數(shù)列a_n=${2}^{{2}^{n}}$+1（n=0，1，2，…．）的任意相鄰兩項(xiàng)都是互素的．
假設(shè)a_n+1與a_n不是互素的，則存在t=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$≥2，t∈N₊，
∴t-1=$\frac{{2}^{{2}^{n}}（{2}^{{2}^{n}}-1）}{{2}^{{2}^{n}}+1}$≥1，t∈N₊，
設(shè)m=${2}^{{2}^{n}}$+1，則t-1=$\frac{（m-1）（m-2）}{m}$=m-3+$\frac{2}{m}$，
∵m≥3，m∈N₊，
∴m-3+$\frac{2}{m}$∉N₊，
與t-1∈N₊矛盾，
∴a_n+1與a_n不是互素的不成立，
∴數(shù)列a_n=${2}^{{2}^{n}}$+1（n=0，1，2，…．）的任意兩項(xiàng)都是互素的．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列知識(shí)，考查用反證法證明數(shù)學(xué)命題，推出矛盾，是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)，屬于中檔題．