Question

方

x|x|

16

+

y|y|

9

=-1的曲線即為函y=f（x）的圖象，對(duì)于函數(shù)y=f（x），有如下結(jié)論：
①x在R上單調(diào)遞減；
②函數(shù)F（x）=4f（x）+3x不存在零點(diǎn)；
③函數(shù)y=f（x）的值域是R；
④若函數(shù)g（x）和f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)y=g（x）的圖象就是方程

y|y|

16

+

x|x|

9

=1確定的曲線．
其中所有正確的命題序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓錐曲線的共同特征

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)題意，化簡(jiǎn)方程方

x|x|

16

+

y|y|

9

=-1，作出函數(shù)y=f（x）的圖象，
由函數(shù)的圖象判斷函數(shù)在R上的單調(diào)性以及值域，得出①③是否正確；
判斷F（x）=4f（x）+3x=0是否存在零點(diǎn)，得出②是否正確；
根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性得出g（x）的解析式是什么，判斷④是否正確．

解答： 解：對(duì)于①，根據(jù)題意畫出方程

x|x|

16

+

y|y|

9

=-1的曲線，即為函數(shù)y=f（x）的圖象，如圖所示；
軌跡是兩段雙曲線的一部分加上一段的橢圓圓弧組成的圖形．

從圖形中可以看出，關(guān)于函數(shù)y=f（x）的有下列說(shuō)法：
①f（x）在R上單調(diào)遞減，∴①正確；
②由于4f（x）+3x=0即f（x）=-

3

4

x，從而圖形上看，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=-

3

4

x沒(méi)有交點(diǎn)，
∴函數(shù)F（x）=4f（x）+3x不存在零點(diǎn)，②正確；
③函數(shù)y=f（x）的值域是R，∴③正確；
④若函數(shù)g（x）和f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
則函數(shù)y=g（x）的圖象是方程

x|x|

16

+

y|y|

9

=1確定的曲線，∴④錯(cuò)誤．
綜上，以上正確的命題是①②③．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了含有絕對(duì)值的二次方程的曲線問(wèn)題，也考查了含有絕對(duì)值的函數(shù)式的化簡(jiǎn)、函數(shù)的圖象與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識(shí)的應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是畫出函數(shù)的圖象，是難題．