Question

已知直線：為參數(shù)), 曲線 （為參數(shù)）.
（1）設與相交于兩點,求；
（2）若把曲線上各點的橫坐標壓縮為原來的倍,縱坐標壓縮為原來的倍,得到曲線,設點是曲線上的一個動點,求它到直線的距離的最小值.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：本題考查直角坐標系與極坐標系之間的互化、參數(shù)方程的幾何意義、三角函數(shù)的值域、函數(shù)圖像的平移等基礎知識，考查學生的轉化能力和計算能力.第一問，由參數(shù)方程和普通方程的互化公式消參得出和的普通方程，由于兩圖像相交，所以聯(lián)立求交點，再利用兩點間距離公式求；第二問，根據(jù)已知先得到曲線的參數(shù)方程，寫出點P的坐標，利用點到直線的距離公式求距離，再利用三角函數(shù)的有界性求函數(shù)的最值.
試題解析：（1）的普通方程為的普通方程為
聯(lián)立方程組解得與的交點為,,
則.
（2）的參數(shù)方程為為參數(shù)).故點的坐標是,
從而點到直線的距離是,
由此當時,取得最小值,且最小值為.