Question

13．已知函數(shù)$f（x）=1-\frac{3}{x+2}$，x∈[3，5]．
（1）利用定義證明函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，注意取值、作差、變形和定符號和下結(jié)論；
（2）運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值．

解答 解：（1）證明：令3≤x₁＜x₂≤5，
則f（x₁）-f（x₂）=1-$\frac{3}{{x}_{1}+2}$-（1-$\frac{3}{{x}_{2}+2}$）
=-3（$\frac{1}{{x}_{1}+2}$-$\frac{1}{{x}_{2}+2}$）=-3•$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$，
∵3≤x₁＜x₂≤5，∴x₂-x₁＞0，（x₁+2）（x₂+2）＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在[3，5]遞增；
（2）由f（x）在[3，5]遞增，
可得f（3）取得最小值1-$\frac{3}{5}$=$\frac{2}{5}$；
f（5）取得最大值1-$\frac{3}{7}$=$\frac{4}{7}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的定義，考查求函數(shù)的值域問題，是一道基礎(chǔ)題．