Question

12．求函數(shù)y=$\frac{sinx+1}{cosx-2}$的值域．

Answer 1

分析 $\frac{sinx+1}{cosx-2}$表示經(jīng)過兩點(diǎn)P（2，-1），Q（cosx，sinx）的斜率．利用直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答 解：$\frac{sinx+1}{cosx-2}$表示經(jīng)過兩點(diǎn)P（2，-1），Q（cosx，sinx）的斜率．
點(diǎn)Q的軌跡是單位圓．
設(shè)$\frac{sinx+1}{cosx-2}$=k，則直線PQ的方程為：y+1=k（x-2），化為：kx-y-2k-1=0，
∴$\frac{|-2k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，化為：3k²+4k≤0，解得$-\frac{4}{3}$≤k≤0，
∴函數(shù)y=$\frac{sinx+1}{cosx-2}$的值域?yàn)?[-\frac{4}{3}，0]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、函數(shù)的值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．