Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，動直線l：y=x+m．問：
（1）m為何值時，l與C相交；
（2）若l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立方程組，利用的判別式能求出直線與橢圓相交時m的值．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由OA⊥OB，得x₁x₂+y₁y₂=0，由此能求出l的方程．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，消去y得3x²+4mx+2m²-2=0，
由△=（4m）²-4×3×（2m²-2）＞0，解得-$\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}$，
∴當(dāng)-$\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}$時，直線與橢圓相交．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（x₁+m）（x₂+m）=0，
∴$2{x}_{1}{x}_{2}+m（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}=0$，（*）
由（1）可知$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4m}{3}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2}{3}（{m}^{2}-1）}\end{array}\right.$，代入（*）式，得$m=±\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴l(xiāng)的方程為：y=x±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與橢圓相交時實(shí)數(shù)值的求法，考查直線方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理和橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．