Question

5．設(shè)函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}+ax，a∈R$，若f（x）在區(qū)間$（-∞，-\frac{3}{2}）$上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出f′（x），由題意得：?x∈（$（-∞，-\frac{3}{2}）$上-2使得f′（x）＜0，令g（x）=-x²-2x，只需求出g（x）的最大值，從而求出a的范圍．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}+ax，a∈R$，
∴f′（x）=x²+2x+a，
∵函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}+ax，a∈R$，若f（x）在區(qū)間$（-∞，-\frac{3}{2}）$上存在單調(diào)遞減區(qū)間，
∴?x∈（$（-∞，-\frac{3}{2}）$上使得f′（x）＜0，
即：?x∈（$（-∞，-\frac{3}{2}）$上-2使得a＜-x²-2x，
令g（x）=-x²-2x，
只需求出g（x）=-x²-2x在區(qū)間$（-∞，-\frac{3}{2}）$上的最大值即可，
而g（x）_max=g（-$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{4}$，
∴a的取值范圍是（-∞，$\frac{3}{4}$）．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合運(yùn)用，考查考查分析與理解能力，屬于中檔題．