已知正項(xiàng)數(shù)列中,其前項(xiàng)和為,且.

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè),,求證:;

(3)設(shè)為實(shí)數(shù),對任意滿足成等差數(shù)列的三個不等正整數(shù) ,不等式都成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

(1);(2)證明過程詳見解析;(3).

【解析】

試題分析:本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、錯位相減法、恒成立問題、基本不等式等基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、計(jì)算能力、轉(zhuǎn)化能力.第一問,法一,利用轉(zhuǎn)化已知表達(dá)式中的,證明數(shù)列為等差數(shù)列,通過,再求;法二,利用轉(zhuǎn)化,證明數(shù)列為等差數(shù)列,直接得到的通項(xiàng)公式;第二問,結(jié)合第一問的結(jié)論,利用錯位相減法證明不等式的右側(cè),而,利用放縮法,得,從而證明了不等式的左邊,即得證;第三問,利用等差中項(xiàng)的概念得到m,n,k的關(guān)系,先將不等式都成立轉(zhuǎn)化為,則關(guān)鍵是求出的最小值,利用基本不等式求函數(shù)最值.

(1)法一:由

當(dāng)時,,且,故 1分

當(dāng)時,,故,得

∵正項(xiàng)數(shù)列,

是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列. 4分

,

. 5分

法二:

當(dāng)時,,且,故 1分

,

當(dāng)時,

,整理得

∵正項(xiàng)數(shù)列,

, 4分

是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,

. 5分

(2)

∴兩式相減得

8分

,∴

10分

(3)∵ 不等正整數(shù)是等差數(shù)列,

,

, 11分

,

故實(shí)數(shù)的取值范圍為. 14分

考點(diǎn):等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、錯位相減法、恒成立問題、基本不等式.

 

練習(xí)冊系列答案
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已知復(fù)數(shù)滿足是虛數(shù)單位),則

 

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已知tanα=-2,,且<α<π,則cosα+sinα= .

 

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已知兩條平行直線之間的距離是 .

 

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某個幾何體的三視圖如圖(其中正視圖中的圓弧是半圓)所示,則該幾何體的表面積為( )

A. B. C. D.

 

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如圖所示,是半徑等于的圓的直徑,是圓的弦,,的延長線交于點(diǎn),若,,則.

 

 

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 等差數(shù)列中,,若前項(xiàng)和取得最大,則( )

A. B. C. D.

 

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P為不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)一動點(diǎn),則線段|OP|的最小值等于 .

 

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