20．已知雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$，過P（2，0）且傾斜角為30°的直線l與雙曲線相交于A，B兩點
（1）寫出直線l的參數(shù)方程．
（2）求|PA|+|PB|的值．

分析 （1）直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.（t為參數(shù)）$．
（2）易知傾斜角為30°的直線l與雙曲線相交于A，B兩點，A、B在異支，把直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.（t為參數(shù)）$．代入${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$得：$2{t}^{2}+6\sqrt{3}t+9=0$，⇒${t}_{1}+{t}_{2}=-3\sqrt{3}$，${t}_{1}{t}_{2}=\frac{9}{2}$，|PA|+|PB|=|t1-t2|=3．

解答 解：（1）過P（2，0）且傾斜角為30°的直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.（t為參數(shù)）$．
（2）∵雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$的漸近線為y=$\sqrt{3}$x，其傾斜角為600
∴傾斜角為30°的直線l與雙曲線相交于A，B兩點，A、B在異支．
把直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.（t為參數(shù)）$．代入${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$得：
$2{t}^{2}+6\sqrt{3}t+9=0$，⇒${t}_{1}+{t}_{2}=-3\sqrt{3}$，${t}_{1}{t}_{2}=\frac{9}{2}$，
$（{t}_{1}-{t}_{2}）^{2}=（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}$=（-3$\sqrt{3}）^{2}$2-4×$\frac{9}{2}=9$．
|PA|+|PB|=|t1-t2|=3．

點評 本題考查了直線的參數(shù)方程，直線與雙曲線的位置關(guān)系，解題時要注意參數(shù)的本質(zhì)含義，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

11．給出下列命題：
①函數(shù)y=cos$（{x-\frac{3π}{2}}）$是奇函數(shù)；
②若α、β是第一象限角且α＜β，則tanα＜tanβ；
③函數(shù)y=tan$（{2x+\frac{π}{4}}）$的圖象關(guān)于點$（{-\frac{3π}{8}，0}）$對稱；
④函數(shù)y=2sin$（{\frac{π}{4}-2x}）$+1的單調(diào)遞增區(qū)間是$[{kπ-\frac{π}{8}，kπ+\frac{3π}{8}}]\;（{k∈Z}）$．
其中正確的命題的個數(shù)是（　�。�
A．1B．2C．3D．4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

11．若log${\;}_{{x}^{2}-\frac{1}{2}}$$\frac{1}{2}$＞1，求x的取值范圍．

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8．若直線$y=\frac{1}{2}$的傾斜角為α，則α（　�。�
A．等于0B．等于$\frac{π}{6}$C．等于$\frac{π}{2}$D．不存在

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15．已知數(shù)列{an+81}是公比為3的等比數(shù)列，其中a1=-78，則數(shù)列{|an|}的前100項和為（　�。�
A．$\frac{{{3^{101}}-16203}}{2}$B．$\frac{{{3^{100}}-15387}}{2}$C．$\frac{{{3^{101}}-15387}}{2}$D．$\frac{{{3^{100}}-16203}}{2}$

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5．已知兩點A（-1，2），B（m，3），求：
（1）直線AB的斜率k；
（2）求直線AB的方程；
（3）已知實數(shù)m∈[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$-1，$\sqrt{3}$-1]，求直線AB的傾斜角α的范圍．

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12．將3個小球隨機地投入編號為1，2，3，4的4個小盒中（每個盒子容納的小球的個數(shù)沒有限制），則1號盒子中小球的個數(shù)ξ的期望為$\frac{3}{4}$．

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9．已知函數(shù)f（x）=xex-a（x-1）（a∈R）
（1）若函數(shù)f（x）在x=0處有極值，求a的值及f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）若存在實數(shù)x0∈（0，$\frac{1}{2}$），使得f（x0）＜0，求實數(shù)a的取值范圍．

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10．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}3x-y-2≤0\\ x-y≥0\\ x≥0，y≥0\end{array}\right.$，若目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為2，則$\frac{1}{a}+\frac{1}{{{b^{\;}}}}$的最小值為（　　）
A．2B．$\frac{8}{3}$C．$\frac{25}{6}$D．4

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