Question

17．函數(shù)f（x）=asinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）的圖象如圖所示，則實(shí)數(shù)a和ω的最小正值分別為（　�。�

• A． a=2，ω=2
• B． a=2，ω=1
• C． a=2，$ω=\frac{3}{2}$
• D． a=2，$ω=\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 利用兩角和的正弦函數(shù)公式化簡函數(shù)解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$asin（ωx+$\frac{π}{4}$），由于點(diǎn)（$\frac{π}{3}$，2），（0，2）在函數(shù)圖象上，可求a，sin（$\frac{π}{3}$ω+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，進(jìn)而結(jié)合ω＞0，可得ω的最小正值．

解答 解：∵f（x）=asinωx+acosωx=$\sqrt{2}$asin（ωx+$\frac{π}{4}$），
由于點(diǎn)（$\frac{π}{3}$，2），（0，2）在函數(shù)圖象上，
可得：2=$\sqrt{2}$asin（$\frac{π}{3}$ω+$\frac{π}{4}$），且2=$\sqrt{2}$asin$\frac{π}{4}$，
解得：a=2，sin（$\frac{π}{3}$ω+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得：$\frac{π}{3}$ω+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，或$\frac{π}{3}$ω+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z，解得：ω=6k，k∈Z，或ω=6k+$\frac{3}{2}$，k∈Z，
由于ω＞0，可得，ω的最小正值為$\frac{3}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查了兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．