Question

2．如圖，⊙O的直徑AB的延長(zhǎng)線與弦CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P．
（Ⅰ）若PD=8，CD=1，PO=9，求⊙O的半徑；
（Ⅱ）若E為⊙O上的一點(diǎn)，$\widehat{AE}=\widehat{AC}$，DE交AB于點(diǎn)F，求證：PF•PO=PA•PB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若PD=8，CD=1，PO=9，利用割線定理求⊙O的半徑；
（Ⅱ）連接OC、OE，先證明△PDF∽△POC，再利用割線定理，即可證得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：∵PA交圓O于B，A，PC交圓O于C，D，
∴PD•PC=PB•PA…（2分）
∴PD•PC=（PO-r）（PO-r）…（3分）
∴8×9=9²-r²--------------（5分）
（Ⅱ）證明：連接EO  CO
∵$\widehat{AE}$=$\widehat{AC}$，∴∠EOA=∠COA
∵∠EOC=2∠EDC，∠EOA=∠COA
∴∠EDC=∠AOC，∴∠COP=∠FDP…（7分）
∵∠P=∠P，∴△PDF～△POC---------------（9分）
∴PF•PO=PD•PC，
∵PD•PC=PB•PA，
∴PF•PO=PA•PB---------------（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)及割線定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．