Question

12．在正四棱錐P-ABCD中，M，N分別為PA，PB的中點，且側(cè)面與底面所成二面角的正切值為$\sqrt{2}$，則異面直線DM與AN所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 如圖所示，建立空間直角坐標系．設(shè)點O是底面中心，E為BC的中點，連接OE，PE，OP．可得OP⊥平面ABCD，OE⊥BC，PE⊥BC．于是∠OEP為側(cè)面與底面所成二面角的平面角，tan∠OEP=$\sqrt{2}$．不妨取OE=1，則OP=$\sqrt{2}$，AB=2．利用向量夾角公式即可得出．

解答 解：如圖所示，建立空間直角坐標系．
設(shè)點O是底面中心，E為BC的中點，連接OE，PE，OP．
則OP⊥平面ABCD，OE⊥BC，PE⊥BC．
∴∠OEP為側(cè)面與底面所成二面角的平面角，
則tan∠OEP=$\sqrt{2}$．
不妨取OE=1，則OP=$\sqrt{2}$，AB=2．
∴O（0，0，0），A（1，-1，0），D（-1，-1，0），B（1，1，0），P（0，0，$\sqrt{2}$），N（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
M$（\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$．
∴$\overrightarrow{DM}$=$（\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，$\overrightarrow{AN}$=$（-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$．
∴cos＜$\overrightarrow{DM}$，$\overrightarrow{AN}$＞=$\frac{\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{AN}}{|\overrightarrow{DM}||\overrightarrow{AN}|}$=$\frac{-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}}{\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}×2+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}\sqrt{（-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}}$=$\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{3}}$=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴異面直線DM與AN所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了異面直線所成的角、向量夾角公式、數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．