Question

設(shè)橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₁的直線交橢圓E于A，B兩點，滿足AF₁=2F₁B，且AB=3，△ABF₂的周長為12．
（1）求AF₂；
（2）若cos∠F₁AF₂=-

1

4

，求橢圓E的方程．

Answer 1

考點：橢圓的標準方程,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)橢圓的定義求解即可．
（2）結(jié)合橢圓的定義和余弦定理求解即可．

解答： 解：如圖：（1）AF₁=2F₁B，AB=3，
∴AF₁=2F₁B=1，
∵4a=12，
∴a=3，
∴AF₁+AF₂=6，
∴AF₂=4
（2）∵AF₁=2，AF₂=4，cos∠F₁AF=-

1

4

，
∴F1F2=

24

=2

6

，
∴c=

3

，
∴橢圓的方程為：

x2

9

+

y2

3

=1

點評：本題主要考查橢圓的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．