Question

定義運算A

m x

=x（x-1）（x-2）…（x-m+1），其中x∈R，m∈N，已知函數(shù)f（x）=aA

3 x+1

-12A

2 x

+1，（a∈R，且a≠0）在x=1處取得極值，且方程f（x）=6x-

16

x

在區(qū)間（m，m+1）（m∈N*）內(nèi)有且只有兩兩不相等的實數(shù)根，則（1）實數(shù)a的值為

 

；（2）正整數(shù)m的值為

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由題意，設(shè)f（x）=a（x+1）x（x-1）-12x（x-1）+1=ax³-12x²-（a-12）x+1，求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0即可求a，再化簡方程f（x）=6x-

16

3

等價于18x³-36x²+19=0，從而令g（x）=18x³-36x²+19，求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值點，從而求得m的值．

解答： 解：由題意，設(shè)f（x）=a（x+1）x（x-1）-12x（x-1）+1=ax³-12x²-（a-12）x+1，
∴f′（x）=3ax²-24x-（a-12），
f′（1）=3a-24-（a-12）=0，
故a=6；
方程f（x）=6x-

16

3

等價于18x³-36x²+19=0．
令g（x）=18x³-36x²+19．
則g'（x）=54x²-72x=18x（3x-4），
令g'（x）=0得x=0或x=

4

3

；
當x∈（0，

4

3

）時，g'（x）＜0，g（x）是單調(diào)遞減函數(shù)；
當x∈（

4

3

，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）是單調(diào)遞增函數(shù)；
∵g（1）=1＞0，g（

4

3

）=-

7

3

＜0，g（2）=19＞0，
∴方程g（x）=0在區(qū)間（1，

4

3

），（

4

3

，2）內(nèi)分別有唯一實根；
∴存在正整數(shù)m=1使得方程f（x）=6x-

16

3

在區(qū)間（1，2）上有且只有兩個不相等的實數(shù)根；
故答案為：6，1．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的零點的個數(shù)的判斷，屬于中檔題．