Question

關(guān)于x的不等式sin²x+acosx-a²≤1+cosx對(duì)一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A、（-1，

  1

  3

  ）
• B、[-1，

  1

  3

  ]
• C、（-∞，-1]∪[

  1

  3

  ，+∞）
• D、（-∞，-1）∪（

  1

  3

  ，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)建立不等式關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：不等式等價(jià)為1-cos²x+acosx-a²≤1+cosx對(duì)一切x∈R恒成立，
即cos²x+（1-a）cosx+a²≥0恒成立，
設(shè)t=cosx，則-1≤t≤1，
則不等式等價(jià)為t²+（1-a）t+a²≥0，在-1≤t≤1上恒成立，
設(shè)f（t）=t²+（1-a）t+a²，-1≤t≤1，
對(duì)稱(chēng)性t=-

1-a

2

=

a-1

2

，
則滿(mǎn)足

f(1)≥0 f(-1)≥0 f( a-1 2 )≥0

．即

a2-a+2≥0 a2+a≥0 ( a-1 2 )2+ (1-a)(a-1) 2 +a2≥0

，
則

a2+a≥0 3a2+2a-1≥0

，
即

a≥0或a≤-1 a≥ 1 3 或a≤-1

，解得a≤-1或a≥

1

3

，
故選：C

點(diǎn)評(píng)：此題考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題，利用換元法結(jié)合一元二次不等式和一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．