Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A、B．橢圓長半軸的長為2，離心率為e=

1

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）設點P在直線上x=4不同于點（4，0）的任意一點，若直線AP、BP分別與橢圓相交于異于A、B的點M、N，證明：點B在以MN為直徑的圓內．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

a=2 e= c a = 1 2

，由此能求出橢圓方程．
（2）A（-2，0），B（2，0），設M（x₀，y₀），則y₀²=

3

4

（4-x₀²），-2＜x₀＜2，由已知條件推導出

BM

•

BP

＞0，由此能證明點B在以MN為直徑的圓內．

解答： （1）解：∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A、B．
橢圓長半軸的長為2，離心率為e=

1

2

，
∴

a=2 e= c a = 1 2

，解得a=2，c=1，b=

4-1

=

3

，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）證明：由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0），設M（x₀，y₀），
∵M點在橢圓上，
∴y₀²=

3

4

（4-x₀²），①
又點M異于頂點A、B，
∴-2＜x₀＜2，
由P、A、M三點共線可以得 P（4，

6y0

x0+2

），
從而

BM

=（x0 -2，y₀），

BP

=（2，

6y0

x0+2

），
∴

BM

•

BP

=2x₀-4+

6y02

x0+2

=

2

x0+2

（x₀²-4+3y₀²），②
將①代入②，化簡得

BM

•

BP

=

5

2

(2-x0)，
∵2-x₀＞0，
∴

BM

•

BP

＞0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，
故點B在以MN為直徑的圓內．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查點在圓內的證明，解題時要認真審題，注意橢圓、圓、直線方程、向量等知識點的合理運用．