Question

已知sinα，cosα是關(guān)于x的二次方程4x²+2mx+m=0的兩個(gè)根．
（1）求m的值；
（2）求

cos2α•sinα

(1+sin2α)(1-tanα)

的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中sinθ、cosθ是關(guān)于x的方程4x²+2mx+m=0的兩個(gè)實(shí)根，我們根據(jù)方程存在實(shí)根的條件，我們可以求出滿足條件的m的值，然后根據(jù)韋達(dá)定理結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系，我們易求出滿足條件的m的值；
（2）先由第一問求出的m確定出sinα+cosα及sinαcosα的值，然后把所求的式子分子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，再利用平方差公式分解因式，分母利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，變形后與分子約分可得到關(guān)于sinα+cosα及sinαcosα的關(guān)系式，把sinα+cosα及sinαcosα的值代入即可求出值．

解答：解：（1）∵sinα，cosα是關(guān)于x的二次方程4x²+2mx+m=0的兩個(gè)根，
∴當(dāng)△=（2m）²-16m≥0，即m≤0，或m≥4時(shí)，
有sinα+cosα=-

2m

4

=-

m

2

，sinαcosα=

m

4

，
又sin²α+cos²α=1，即（sinα+cosα）²-2sinαcosα=

m2

4

-

m

2

=1，
化簡(jiǎn)得：（m-1）²=5，
解得：m=1+

5

（舍去）或m=1-

5

，
則m=1-

5

；（4分）
（2）∵sinα+cosα=-

1- 5

2

，sinαcosα=

1- 5

4

，
∴

cos2α•sinα

(1+sin2α)(1-tanα)

=

sinα(cos2α-sin2α)

(sin2α+2sinαcosα+cos2α)(1- sinα cosα )

=

sinαcosα(cosα-sinα)(cosα+sinα)

(sinα+cosα)2(cosα-sinα)

=

sinα•cosα

sinα+cosα

=-

1

2

．（5分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，其中本題第一問易忽略方程存在實(shí)數(shù)根，而錯(cuò)解為m=1±

5

，第二問利用三角函數(shù)的恒等變形把所求式子化為關(guān)于sinα+cosα及sinαcosα的形式是解題的關(guān)鍵，同時(shí)注意“1”的靈活運(yùn)用．