Question

14．求證：函數(shù)f（x）=e^x-lnx-1無零點(diǎn)．

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到f（x）在（1，+∞）遞增，在（0，1]大于0，從而證出f（x）無零點(diǎn)即可．

解答 解：∵f（x）=e^x-lnx-1，
∴f′（x）=e^x-$\frac{1}{x}$，
x＞1時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，+∞）遞增，
∴x＞1時(shí)，f（x）＞f（1）=e-1＞0，
x∈（0，1]時(shí)，e^x＞1，lnx≤0，
∴f（x）＞0，
綜上，f（x）＞0在（0，+∞）恒成立，無零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．