Question

2．已知P為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上的任意一點(diǎn)，過P作x軸的垂線，分別交雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，過P作y軸的垂線，分別交雙曲線的兩條漸近線于C，D兩點(diǎn)．求證：|PA|•|PB|+|PC|•|PD|為定值．

Answer 1

分析 設(shè)P（m，n），可得$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，即為b²m²-a²n²=a²b²，求出雙曲線的漸近線方程，令x=m，y=n，分別求得A，B，C，D的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式化簡整理，即可得證．

解答 證明：設(shè)P（m，n），可得$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，
即為b²m²-a²n²=a²b²，
雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由x=m，可得y=±$\frac{bm}{a}$，
即有A（m，$\frac{bm}{a}$），B（m，-$\frac{bm}{a}$），
由y=n，可得x=±$\frac{an}$，
即有C（$\frac{an}$，n），D（-$\frac{an}$，n），
可得|PA|•|PB|+|PC|•|PD|=|n-$\frac{bm}{a}$|•|n+$\frac{bm}{a}$|+|m-$\frac{an}$|•|m+$\frac{an}$|
=|n²-$\frac{^{2}{m}^{2}}{{a}^{2}}$|+|m²-$\frac{{a}^{2}{n}^{2}}{^{2}}$|=$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}^{2}}{^{2}}$=a²+b²．即為定值．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程的運(yùn)用，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．