Question

4．如圖所示，⊙O的圓心O在Rt△ACD的斜邊AC上，且⊙O過(guò)頂點(diǎn)A，與邊CD相切于點(diǎn)E，與邊AD、AC分別相交于點(diǎn)F，B．
（1）求證：AE是∠CAD的平分線；
（2）若CE=10，CB=5，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OE，則OE⊥CD，證明∠DAE=∠OAE，即可證明AE是∠CAD的平分線；
（2）若CE=10，CB=5，由切割線定理求出CA，利用余弦定理求AE的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：連接OE，則OE⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OE∥AD，
∴∠OEA=∠DAE，
∵OA=OE，
∴∠OEA=∠OAE，
∴∠DAE=∠OAE，
∴AE是∠CAD的平分線；
（2）解：若CE=10，CB=5，由切割線定理，可得10²=5•CA，
∴CA=20，
∴OA=OB=7.5，
∴cos∠COE=$\frac{7.5}{12.5}$=$\frac{4}{5}$
△OAE中，AE=$\sqrt{7．{5}^{2}+7．{5}^{2}-2×7.5×7.5×（-\frac{4}{5}）}$=$\frac{9}{2}\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查切割線定理、余弦定理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．