Question

14．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，若2|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|2$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|，cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）＞=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

Answer 1

分析 將2|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|2$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|兩邊平方，得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$與|$\overrightarrow{a}$|的關(guān)系，計(jì)算|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|和$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$，代入夾角公式計(jì)算．

解答 解：∵2|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|2$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|，∴4${\overrightarrow{a}}^{2}$=${\overrightarrow}^{2}$=4${\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{{\overrightarrow}^{2}}{4}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$．
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|²=${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$=7${\overrightarrow{a}}^{2}$．∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{7}$|$\overrightarrow{a}$|．
$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$=${\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2${\overrightarrow{a}}^{2}$．
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}$=$\frac{2{\overrightarrow{a}}^{2}}{\sqrt{7}|\overrightarrow{a}{|}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，模長(zhǎng)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．