Question

13．如圖，設線段DA和平面ABC所成角為α（0＜α＜$\frac{π}{2}}$），二面角D-AB-C的平面角為β，則（　�。�

• A． α≤β＜π
• B． α≤β≤π-α
• C． $\frac{π}{2}-α≤β＜π$
• D． $\frac{π}{2}-α≤β≤π-α$

Answer 1

分析 如圖所示，圖一：過點D作DO⊥平面ABC，垂足為O點，
連接OA，過點O作OE⊥AB，垂足為E點，連接DE．則∠OAD是線段DA和平面ABC所成角α（0＜α＜$\frac{π}{2}}$），
∠OED是二面角D-AB-C的平面角β，利用直角三角形邊角關系即可得出．α＜β＜π-α．同理圖二中：可得α＜π-β，α

解答 解：如圖所示，
圖一：過點D作DO⊥平面ABC，垂足為O點，
連接OA，過點O作OE⊥AB，垂足為E點，連接DE．
則∠OAD是線段DA和平面ABC所成角α（0＜α＜$\frac{π}{2}}$），
∠OED是二面角D-AB-C的平面角β，
則tanα=$\frac{OD}{OA}$，tanβ=$\frac{OD}{OE}$，OA＞OE，
∴tanα＜tanβ，可得α＜β，α+β＜π，因此α＜β＜π-α．
同理圖二中：tanα=$\frac{OD}{OA}$，tan（π-β）=$\frac{OD}{OE}$，
可得α＜π-β，α＜β，因此α＜β＜π-α．
綜上可得：α＜β＜π-α．
故選：B．

點評 本題考查了空間位置關系、空間角、直角三角形的邊角關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．